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解：$ (1) $因为矩形$ADOG$、矩形$BEOH$和矩形$CFOI $的面积相等，

且$OG=GH=HI$，

$ $所以$S_1=S_2+S_3$，$2S_2=S_3$。

$ $因为$S_2=6\ \mathrm {m^2}$，

所以$S_3=12\ \mathrm {m^2}$，$S_1=18\ \mathrm {m^2}$。

$ (2) $由弯道$MN$上任意一点到两围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积

都相等，且$T(x，y)$是弯道$MN$上的任意一点，得$xy=S_1+S_2+S_3$。

$ $因为$S_1=18\ \mathrm {m^2}$，$S_2=6\ \mathrm {m^2}$，$S_3=12\ \mathrm {m^2}$，

所以$xy=36$，即$y=\frac {36}{x}$，

$ $故$y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac {36}{x}(x＞0)$。

$ (3) $由题意得，$M$，$N$两点的横、纵坐标都满足$y=\frac {36}{x}$。

$ $因为$MP=2\ \mathrm {m}$，$NQ=3\ \mathrm {m}$，

所以点$M$的坐标为$(2，18)$，点$N$的坐标为$(12，3)$，

$ $所以点$Q $的坐标为$(12，0)$。

$ $把$x=2，4，6，8，10$分别代入$y=\frac {36}{x}$，得$y=18，9，6，4.5，3.6$。

$ $所以种植花木的位置可以为$(2，2)，(2，4)，(2，6)，(2，8)，(2，10)，$

$(2，12)，(2，14)，(2，16)$；$(4，2)，(4，4)，(4，6)，(4，8)$；

$(6，2)，(6，4)$；$(8，2)，(8，4)$；$(10，2)$，

$ $故一共能种植$17$棵花木。

解：$(1) $因为$n=-2$，

所以一次函数的表达式为$y_1=kx-2$。

$ $因为函数$y_1$，$y_2$的图象都经过点$A(3，4)$，

$ $所以$\begin {cases}3k-2=4，\\4=\frac {m}{3}，\end {cases}$

解得$\begin {cases}k=2，\\m =12.\end {cases}$

$ (2) ① $若$k=2$，

则一次函数的表达式为$y_1=2x+n$。

$ $因为点$P $的坐标为$(1，0)$，

所以点$B$的坐标为$(1，m)$，点$D$的坐标为$(1，2+n)$，点$C$的坐标为$(1，n)$。

$ $当$B$，$C$，$D$三点中的一点到另外两点的距离相等时，分类讨论如下：$ $

当点$B$与点$D$重合时，$m=2+n$，所以$m-n=2$；$ $

当点$C$与点$D$重合时，$n=2+n$，无解；$ $

当点$D$在点$B$的上方，且$BD=BC$时，$2+n-m=m-n$，

所以$m-n=1$；$ $

当点$D$在$B$，$C$两点之间，且$BD=CD$时，$m-(2+n)=2+n-n$，

所以$m-n=4$；$ $

当点$D$在点$C$的下方，且$BC=CD$时，$m-n=n-(2+n)$，

所以$m-n=-2$。

$ $因为$m＞0$，$n＜0$，所以$m-n＞0$，所以$m-n=-2$不合题意，舍去。

综上所述，$m-n$的值为$2$或$1$或$4$。

$ ② $由$①$得点$B$的坐标为$(1，m)$，点$C$的坐标为$(1，n)$。

$ $在$y_1=kx+n$中，令$y_1=m$，得$kx+n=m$，解得$x=\frac {m-n}{k}$。

分类讨论如下：$ $当点$E$在点$B$的左边时，$BE=1-\frac {m-n}{k}$，$BC=m-n$。

$ $由题意得$1-\frac {m-n}{k}+m-n=d$，即$(1-\frac {1}{k})(m-n)+1=d$。

$ $因为$0＜m-n≤1$，$d$为定值，所以$1-\frac {1}{k}=0$，即$k=1$，此时$d=1$；$ $

当点$E$在点$B$的右边时，$BE=\frac {m-n}{k}-1$，$BC=m-n$。

$ $由题意得$\frac {m-n}{k}-1+m-n=d$，即$(1+\frac {1}{k})(m-n)-1=d$。

$ $因为$0＜m-n≤1$，$d$为定值，

所以$1+\frac {1}{k}=0$，即$k=-1$，此时$d=-1$，不合题意，舍去。

综上所述，此时$k$的值为$1$，定值$d=1$。