解：$(1) $由题意，总共有$8$个盲盒，其中$“$圆周率$”$主题的盲盒有$2$个，
$ $因此抽到$“$圆周率$”$的概率是$\frac {2}{8}=\frac {1}{4}$。
$ (2) $抽到$“$圆周率$”$的概率为$\frac {1}{4}$，抽到$“$勾股定理$”$或$“$欧拉公式$”$的概率为$\frac {4}{8}=\frac {1}{2}$，
抽到$“$莫比乌斯带$”$的概率为$\frac {2}{8}=\frac {1}{4}$，
所以每抽取一次，额外奖励金额的平均数为$10×\frac {1}{4}+6×\frac {1}{2}+0×\frac {1}{4}=\frac {11}{2}($元$)$，
$ $因此估计商场在这一个月里需支付此活动的费用为$(2+\frac {11}{2})×540=4050($元$)$。
