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第121页

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$\frac{15}{4}$

$\sqrt{10}$

 解：

 (1) $△ ACM$是直角三角形，理由如下：

 $\because AC=13\ \mathrm{km}，$$CM=5\ \mathrm{km}，$$AM=12\ \mathrm{km}，$

 $\therefore CM^2 + AM^2 = 5^2 + 12^2 = 169\ (\mathrm{km}^2)，$

 $AC^2 = 13^2 = 169\ (\mathrm{km}^2)，$

 $\therefore CM^2 + AM^2 = AC^2，$

 $\therefore △ ACM$是直角三角形，$∠ AMC=90°。$

 (2) 设$AB=BC=x\ \mathrm{km}，$则$BM=(x-5)\ \mathrm{km}。$

 $\because ∠ AMC=90°，$$∠ AMB + ∠ AMC = 180°，$

 $\therefore ∠ AMB=90°。$

 在$\mathrm{Rt}△ ABM$中，由勾股定理得：

 $AM^2 + BM^2 = AB^2，$即$12^2 + (x-5)^2 = x^2，$

 解得$x=16.9，$即$AB=16.9\ \mathrm{km}。$

 答：公路$AB$的长为$16.9\ \mathrm{km}。$

解：

$ (1)\ \mathrm {BH}=CA$，证明如下：

∵$CD⊥ AB$，$BE⊥ AC$，

∴$∠ BDC = ∠ CDA = ∠ BEA = 90°$，

∴$∠ A + ∠ DCA = 90°$，$∠ A + ∠ ABE = 90°$，

∴$∠ ABE = ∠ DCA$。

又∵$∠ ABC=45°$，

∴$∠ BCD = ∠ ABC = 45°$，

∴$DC=DB$。

$ $在$△ DBH$和$△ DCA$中，

$ \begin {cases} ∠ DBH = ∠ DCA \\DB = DC \\∠ BDH = ∠ CDA \end {cases}$

∴$△ DBH ≌ △ DCA$，

∴$BH=CA$。

$ (2) $证明：连接$CG$。

∵$F $为$BC$的中点，$DB=DC$，

∴$DF $垂直平分$BC$，

∴$BG=CG$。

∵$BE⊥ AC$，

∴$∠ BEA = ∠ BEC = 90°$。

$ $在$△ ABE$和$△ CBE$中，

$ \begin {cases} ∠ ABE = ∠ CBE \\BE = BE \\∠ BEA = ∠ BEC \end {cases}$

∴$△ ABE ≌ △ CBE$，

∴$EA=EC$。

$ $在$Rt△ CGE$中，由勾股定理得：

$ CG^2 - GE^2 = EC^2$，

又∵$BG=CG$，$EA=EC$，

∴$BG^2 - GE^2 = EA^2$。