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$ (1) $证明：

∵$CF ⊥ AB$，$M$为$BC$的中点，

∴$MF = BM = CM = \frac {1}{2}BC$。

∵$ME = MF$，

∴$ME = BM = CM$，

∴$∠ MBE = ∠ MEB$，$∠ MEC = ∠ MCE$。

∵$△ BCE$的内角和为$180°$，

∴$∠ MEB + ∠ MEC = \frac {1}{2} × 180° = 90°$，

∴$∠ BEC = 90°$，

∴$BE ⊥ AC$。

$ (2) $解：

∵$∠ A = 50°$，

∴$∠ ABC + ∠ ACB = 180° - 50° = 130°$。

$ $由$(1)$得$MF = BM$，$ME = CM$，

∴$∠ MBF = ∠ MFB$，$∠ MEC = ∠ MCE$，

∴$∠ BMF + ∠ CME$

$ = (180° - 2∠ ABC) + (180° - 2∠ ACB) $

$= 360° - 2(∠ ABC + ∠ ACB) $

$= 360° - 2 × 130°$

$ = 100°$，

∴$∠ FME = 180° - (∠ BMF + ∠ CME) = 80°$。

 (1) 证明：

 $\because AB // CD，$

 $\therefore ∠ ABF = ∠ CDE。$

 $\because AF ⊥ AB，$$CE ⊥ CD，$

 $\therefore ∠ BAF = ∠ DCE = 90°。$

 $\because BE = EF = FD，$

 $\therefore BE + EF = FD + EF，$即$BF = DE。$

 在$△ ABF$和$△ CDE$中，

 $\begin{cases} ∠ ABF = ∠ CDE, \\ ∠ BAF = ∠ DCE, \\ BF = DE, \end{cases}$

 $\therefore △ ABF ≌ △ CDE(\mathrm{AAS})。$

 (2) 证明：

 $\because ∠ ABD = 30°，$$AB // CD，$

 $\therefore ∠ CDB = ∠ ABD = 30°。$

 $\because ∠ BAF = 90°，$$BE = EF，$

 $\therefore AE = \frac{1}{2}BF。$

 $\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABF$中，$∠ ABF = 30°，$

 $\therefore AF = \frac{1}{2}BF，$

 $\therefore AE = AF。$

 同理可证$CE = CF。$

 $\because △ ABF ≌ △ CDE，$

 $\therefore AF = CE，$

 $\therefore AE = AF = CE = CF，$即四边形$AECF$的四条边相等。

$ (1) $证明：

∵$∠ BAC = 2α$，$∠ DAE = α$，

∴$∠ DAB + ∠ EAC = α$。

∵$∠ B = 180° - α$，$△ ABD$的内角和为$180°$，

∴$∠ DAB + ∠ D = α$，

∴$∠ EAC = ∠ D$。

$ $在$△ DBA$和$△ ACE$中，

$ \begin {cases} ∠ B = ∠ C， \\∠ D = ∠ EAC， \\DA = AE， \end {cases}$

∴$△ DBA ≌ △ ACE(\mathrm {AAS})$。

$ (2) $解：

$ $设$∠ D = x$。

$ $根据$(1)$，得$∠ EAC = ∠ D = x$。

∵$∠ DAE = 70°$，

∴$∠ DAC = ∠ DAE + ∠ EAC = 70° + x$。

∵在$△ EAC$中，$∠ C = 110°$，

∴$∠ E = 180° - 110° - x = 70° - x$。

∵$∠ DAC$的度数是$∠ E$的$3$倍，

∴$70° + x = 3(70° - x)$，

$ $解得$x = 35°$，即$∠ D = 35°$。

∴当$∠ DAC$的度数是$∠ E$的$3$倍时，$∠ D = 35°$。