解：如图，设直线$y=kx+b$与直线$AB$交于点$D$，与$x$轴交于点$C$。
∵$A(3，0)，B(0，3)$，
∴$OA=OB=3$，直线$AB$对应的函数表达式为$y=-x+3$。
∵$C(1，0)$，
∴$AC=2$。
∵靠近原点部分的面积为$\frac {15}{4}$，
即$S_{四边形OCDB}=S_{△ OAB}-S_{△ ACD}=\frac {15}{4}$，
∴$\frac {1}{2}×3×3 - \frac {1}{2}×2× y_D=\frac {15}{4}$，
$ $解得$y_D=\frac {3}{4}$。
$ $把$y_D=\frac {3}{4}$代入$y=-x+3$，得$x_D=\frac {9}{4}$。
∴$D(\frac {9}{4}，\frac {3}{4})$。
$ $由$C，D$两点的坐标可求直线$CD$对应的函数表达式为$y=\frac {3}{5}x-\frac {3}{5}$。
∴$k$的值为$\frac {3}{5}$
