解：
(1) 过点$C$作$CH ⊥ OB，$垂足为$H。$
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ OCB$中，$∠ OCB=90°，$$OB=25，$$OC=20，$
$\therefore BC^2+OC^2=OB^2，$即$BC^2+20^2=25^2，$
$\therefore BC=15。$
根据$△ OCB$的面积公式，得$\frac{1}{2}OB· CH=\frac{1}{2}OC· BC，$
$\therefore CH=\frac{OC· BC}{OB}=\frac{20×15}{25}=12。$
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ OHC$中，$∠ OHC=90°，$
$\therefore OH^2+CH^2=OC^2，$即$OH^2+12^2=20^2，$
$\therefore OH=16，$
$\therefore$ 点$C$的坐标为$(16,-12)。$
(2) 当$OC$为$△ OCP$的腰时，点$P$的坐标为$(0,20)$或$(0,-20)$或$(0,-24)；$
当$OC$为$△ OCP$的底时，点$P$的坐标为$(0,-\frac{50}{3})。$
