解：连接OA，OB，OF，设OB交AF于点G。
$\because AB⊥ CD，$CD为$\odot O$的直径，
$\therefore AE=BE=\frac{1}{2}AB=3。$
设$\odot O$的半径为r，则$OE=r-1，$$OA=r。$
在$\mathrm{Rt}△ OAE$中，由勾股定理，得$3^2+(r-1)^2=r^2，$
解得$r=5。$
$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{BF}，$$\therefore ∠ AOB=∠ FOB。$
$\because AO=FO，$$\therefore OB⊥ AF，$$AF=2AG。$
设$OG=t，$则$BG=5-t。$
在$\mathrm{Rt}△ AGO$中，$AG^2=5^2-t^2，$
在$\mathrm{Rt}△ AGB$中，$AG^2=6^2-(5-t)^2，$
$\therefore 5^2-t^2=6^2-(5-t)^2，$
解得$t=\frac{7}{5}，$
$\therefore AG=\sqrt{5^2-(\frac{7}{5})^2}=\frac{24}{5}，$
$\therefore AF=2AG=\frac{48}{5}。$
