（2）解：$PC=PA+PB。$
证明：如图①，在PC上截取$PD=PA，$连接AD。
$\because ∠ APC=60°，$$\therefore △ APD$是等边三角形，
$\therefore AD=AP=PD，$$∠ ADP=60°，$$\therefore ∠ ADC=120°。$
$\because ∠ APC=∠ CPB=60°，$$\therefore ∠ APB=∠ APC+∠ CPB=120°，$
$\therefore ∠ APB=∠ ADC。$
在$△ APB$和$△ ADC$中，
$\begin{cases} ∠ ABP=∠ ACD,\\ ∠ APB=∠ ADC,\\ AP=AD, \end{cases}$
$\therefore △ APB≌△ ADC(\mathrm{AAS})，$$\therefore PB=DC。$
又$\because PD=PA，$$\therefore PC=PD+DC=PA+PB。$
（3）解：当P为$\overset{\frown}{AB}$的中点时，四边形APBC的面积最大。
如图②，过点P作$PE⊥ AB，$垂足为E，过点C作$CF⊥ AB，$垂足为F。
$\because S_{△ APB}=\frac{1}{2}AB· PE，$$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB· CF，$
$\therefore S_{\mathrm{四边形}APBC}=\frac{1}{2}AB·(PE+CF)。$
当P为$\overset{\frown}{AB}$的中点时，$AP=BP，$$\therefore E$为AB的中点。
$\because △ ABC$是$\odot O$的内接正三角形，$\therefore CA=CB，$$\therefore F$为AB的中点。
又$\because ∠ AEP+∠ AFC=180°，$$\therefore$ 点E与点F重合，点P，E，C共线，
$\therefore PE+CF=PC，$且PC为$\odot O$的直径，此时四边形APBC的面积最大。
$\because \odot O$的半径为1，易得其内接正三角形的边长$AB=\sqrt{3}，$
$\therefore$ 四边形APBC的最大面积为$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×2=\sqrt{3}。$
