（1）证明：$\because C$是$\overset{\frown}{BD}$的中点，$\therefore \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BC}。$
$\because AB$是$\odot O$的直径，且$CF⊥ AB，$$\therefore \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BF}，$
$\therefore \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BF}，$$\therefore CD=BF。$
$\because \overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BC}，$$\therefore ∠ BFG=∠ CDG。$
在$△ BFG$和$△ CDG$中，
$\begin{cases} ∠ FGB=∠ DGC,\\ ∠ BFG=∠ CDG,\\ BF=CD, \end{cases}$
$\therefore △ BFG≌△ CDG(\mathrm{AAS})。$
（2）解：连接OF，设$\odot O$的半径为r。
$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ADB=90°，$
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ ADB$中，$BD^2=AB^2-AD^2，$即$BD^2=(2r)^2-2^2。$
$\because CF⊥ AB，$$\therefore CF=2EF。$
在$\mathrm{Rt}△ OEF$中，$OF^2=OE^2+EF^2，$即$EF^2=r^2-(r-2)^2。$
$\because \overset{\frown}{CD}=\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BF}，$$\therefore \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{CF}，$$\therefore BD=CF，$
$\therefore BD^2=CF^2=(2EF)^2=4EF^2，$即$(2r)^2-2^2=4[r^2-(r-2)^2]，$
解得$r_1=1$（不合题意，舍去），$r_2=3。$
$\therefore$ 在$\mathrm{Rt}△ EFB$中，$BF^2=EF^2+BE^2=3^2-(3-2)^2+2^2=12，$
$\therefore BF=2\sqrt{3}。$
