解：连接AC.
$\because$ DC是$\odot A$的切线，$\therefore AC⊥ CD.$
又$\because$ 四边形ABCD是平行四边形，
$\therefore AB=AC=CD，$$AB// CD，$
$\therefore △ ACD$是等腰直角三角形，
$\therefore ∠ CAD=45°，$$∠ CAF=90°，$
$\therefore ∠ EAF=∠ CAF-∠ CAD=45°.$
设$\odot A$的半径为$r.$
$\because \overset{\frown}{EF}$的长为$\frac{π}{2}，$
$\therefore \frac{π}{2}=\frac{45π r}{180}，$
解得$r=2，$
$\therefore AC=CD=2，$
$\therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{△ ACD}-S_{\mathrm{扇形}ACE}=\frac{1}{2}×2×2-\frac{45π×2^2}{360}=2-\frac{π}{2}$
