解：$(1) $连接$OD$，$OA$，过点$O$作$OH⊥ AB$于点$H$。
∵$△ ABC$为等腰三角形，$O$是底边$BC$的中点，
∴$AO⊥ BC$，$AO$平分$∠ BAC$。
∵$AC$与半圆$O$相切于点$D$，
∴$OD⊥ AC$。
∵$OH⊥ AB$，
∴$OH=OD$，
∴$AB$与半圆$O$相切。
$ (2) $设半圆$O$的半径为$r$，则$OD=OF=r$。
$ $由$ (1)$知，$OD⊥ AC$，
∴在$Rt△ OCD$中，由勾股定理，得$OD^2+CD^2=OC^2$，
$ $即$r^2+4^2=(r+2)^2$，
$ $解得$r=3$，
∴$EF=2r=6$。
