解：$(1)$∵$ GF $是$⊙O$的切线，
∴$ DF⊥GF$，即$∠DFG=90°$。
∵$ DF⊥AB$，
∴$ ∠AED=∠DFG=90°$，
∴$ AB//GF$，
∴$ ∠G=∠BAC=45°$，
∴$ $在$Rt△DFG_{中}$，$∠FDG=90°-45°=45°$，
∴$ ∠G=∠FDG$，
∴$ FD=FG$。
$ (2) $连接$OA$。
∵$ DF⊥AB$，$DF $过圆心$O$，
∴ AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=6。
∵$ ∠AED=90°$，$∠BAC=45°$，
∴$ $在$Rt△AED$中，$∠ADE=90°-45°=45°$，
∴$ ∠ADE=∠BAC$，
∴$ EA=ED=6$。
∵$ FG=10$，
∴$ FD=FG=10$，
∴$ EF=DF-DE=10-6=4$。
$ $设$OE=x$，则$OF=OE+EF=x+4=OA$。
$ $在$Rt△AOE$中，$OA²=AE²+OE²$，
∴ $(x+4)^2=6^2+x^2，$
解得 $x=\frac{5}{2}，$
∴ OF=x+4=$\frac{13}{2}，$
∴ ⊙O的半径为$\frac{13}{2}。$
