解：$(1) $∵$ $四边形$DOBC$是矩形，且点$D$，$B$的坐标分别为
$(0，4)$，$(6，0)$，
∴$ $点$C$的坐标为$(6，4)$。
∵$ A$为线段$OC$的中点，
∴$ $点$A$的坐标为$(3，2)$。
$ $将$(3，2)$代入$y=\frac {k_1}{x}$，得$k_1=3×2=6$，
∴$ $反比例函数的表达式为$y=\frac {6}{x}$。
$ $把$x=6$代入$y=\frac {6}{x}$，得$y=1$，
∴$ $点$F $的坐标为$(6，1)$。
$ $把$y=4$代入$y=\frac {6}{x}$，得$x=\frac {3}{2}$，
∴$ $点$E$的坐标为$(\frac {3}{2}，4)$。
$ $把$F(6，1)$，$E(\frac {3}{2}，4)$代入$y=k_2x+b$，得
$ \begin {cases}6k_2+b=1，\\\frac {3}{2}k_2+b=4，\end {cases}$
$ $解得$\begin {cases}k_2=-\frac {2}{3}，\\b =5.\end {cases}$
∴$ $直线$EF $对应的函数表达式为$y=-\frac {2}{3}x+5$。
$ (2)\ \mathrm {S}_{△ OEF}=S_{矩形DOBC}-S_{△ ODE}-S_{△ OBF}-S_{△ CEF}$
$ =4×6-\frac {1}{2}×\frac {3}{2}×4-\frac {1}{2}×6×1-\frac {1}{2}×(6-\frac {3}{2})×(4-1)$
$ =\frac {45}{4}$。
