解：$(1)$∵ 反比例函数的图象关于原点对称，题图中反比例函数的图象
的一支位于第四象限，
∴ 该函数的图象位于第二、四象限。
∴$ m-6＜0$，解得$m＜6$。
$ (2) $由$ (1)$知，函数的图象位于第二、四象限，
∴ 在每一个象限内，函数值$y$随自变量$x$的增大而增大。
分情况讨论：
$ ① $当$y_1＜y_2＜0$时，点$A$、$B$都在第四象限，此时$x_1＜x_2$；
$ ② $当$0＜y_1＜y_2$时，点$A$、$B$都在第二象限，此时$x_1＜x_2$；
$ ③ $当$y_1＜0＜y_2$时，点$A$在第四象限，点$B$在第二象限，此时$x_2＜x_1$。
