解：
(1) 设将原矩形绿地的长、宽各增加$x\ \mathrm{m}，$
则新的矩形绿地的长为$(35+x)\ \mathrm{m}，$宽为$(15+x)\ \mathrm{m}。$
根据题意，得$(35+x)(15+x)=800。$
整理，得$x^2 +50x -275=0，$
解得$x_1=5，$$x_2=-55$（不合题意，舍去）。
此时$35+x=35+5=40，$$15+x=15+5=20。$
答：新的矩形绿地的长为$40\ \mathrm{m}，$宽为$20\ \mathrm{m}。$
(2) 设将原矩形绿地的长、宽各增加$y\ \mathrm{m}，$则新的矩形绿地的长为
$(35+y)\ \mathrm{m}，$宽为$(15+y)\ \mathrm{m}。$
根据题意，得$(35+y):(15+y)=5:3，$即$3(35+y)=5(15+y)，$
解得$y=15。$
$\therefore$ 新的矩形绿地的面积为$(35+15)×(15+15)=1500\ \mathrm{m}^2。$
