解：$(1) $在矩形$ABCD$中，$AD// BC$，$∠ B=90°$，
$ $由题意得$DP=t\mathrm {cm}$，$BQ=t\mathrm {cm}$，
∴$AP=AD-DP=(6-t)\mathrm {cm}$。
∵$AP// BQ$，
当$AP=BQ $时，四边形$ABQP $是矩形，
$ $即$6-t = t$，
$ $解得$t=3$。
∴当$t=3$时，四边形$ABQP $是矩形。
$ (2)$∵$AP=6-t$，$CQ=BC-BQ=6-t$，
∴$AP=CQ$，
又$AP// CQ$，
∴四边形$AQCP $是平行四边形。
$ $当$AQ=CQ $时，平行四边形$AQCP $为菱形，
$ $在$Rt△ ABQ_{中}$，
$AQ=\sqrt {AB^2+BQ^2}=\sqrt {9+t^2}$，
$ $又$CQ=6-t$，
∴$\sqrt {9+t^2}=6-t$，
$ $两边平方得$9+t^2=36-12t+t^2$，
$ $整理得$12t=27$，
$ $解得$t=\frac {9}{4}$。
∴当$t=\frac {9}{4}$时，四边形$AQCP $是菱形。
