解：$ (1) $四边形$DEFG $是平行四边形，理由
如下：
∵$ D$，$G $分别是$AB$，$AC$的中点，
∴$ DG $是$△ABC$的中位线，
∴$ DG//BC$，$DG=\frac {1}{2}BC$，
∵$ E$，$F $分别是$PB$，$PC$的中点，
∴$ EF $是$△PBC$的中位线，
∴$ EF//BC$，$EF=\frac {1}{2}BC$，
∴$ DG//EF$，$DG=EF$，
∴$ $四边形$DEFG $是平行四边形。
$ (2)$∵$ ∠PBC$与$∠PCB$互余，
∴$ ∠PBC+∠PCB=90°$，
∴$ ∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)=90°$，
$ $在$Rt△PBC$中，$E$是$PB$中点，$F $是$PC$中点，
∵$ PE=3$，$PF=4$，
∴$ PB=2PE=6$，$PC=2PF=8$，
$ $由勾股定理得$BC=\sqrt {PB^2+PC^2}$
$=\sqrt {6^2+8^2}=10$。
