解：$(1) $证明：∵$AD ⊥ BC$，
∴$∠ ADB = ∠ ADC = 90°$。
在$Rt△ ABD$中，$AB^2 = AD^2 + BD^2 = 2^2 +1^2 =5$，
在$Rt△ ACD$中，$AC^2 = AD^2 + CD^2 = 2^2 +4^2 =20$，
又$BC = BD + CD = 1+4=5$，
∴$BC^2=25$。
∴$AB^2 + AC^2 = 5 + 20 = 25 = BC^2$，
由勾股定理逆定理可得，$△ABC$为直角三角形。
$(2) $分三种情况讨论：
$① $当$AB=AP $时，由$AD ⊥ BC$得$DP=BD=1$，
故$BP=BD+DP=2$；
$② $当$AB=BP $时，$AB=\sqrt {AD^2 + BD^2}=\sqrt {5}$，
故$BP=\sqrt {5}$；
$③ $当$AP=BP $时，设$BP=x$，则$DP=x-1$，$AP=x$，
在$Rt△ ADP_{中}$，由勾股定理得$x^2 = 2^2 + (x-1)^2$，
解得$x=2.5$。
综上，$BP $的长为$\sqrt {5}$或$2.5$或$2$。
