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第128页

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 解：$∠ B+∠ CDE-∠ E=90°。$理由如下：

 如答图，作直线$CD$分别交$AB，$$EF$于点$G，$$H，$

则$∠ GCB=90°，$$∠1=90°-∠ B。$

 因为$AB// EF，$

所以$∠1=∠2=90°-∠ B。$

 在$△ DEH$中，由三角形的外角性质，得$∠ CDE=∠ E+∠2，$

即$∠ CDE=∠ E+90°-∠ B，$

 所以$∠ B+∠ CDE-∠ E=90°。$

$∠ CDP+∠ PAB-∠ APD=180°$

解：$(1)$如图，过点$P_{作}EF// AB。$

∵$∠ A=50°，$

∴$∠ APE=∠ A=50°。$

∵$AB// CD，$

∴$EF// CD，$

∴$∠ D+∠ EPD=180°。$

∵$∠ D=150°，$

∴$∠ EPD=180°-∠ D=180°-150°=30°，$

∴$∠ APD=∠ APE+∠ EPD=50°+30°=80°。$

$ (3)$如图，设$PD$交$AN$于点$O。$

∵$AP⊥ PD，$

∴$∠ APO=90°。$

∵$∠ PAN+\frac {1}{2}∠ PAB=∠ APD，$

∴$∠ PAN+\frac {1}{2}∠ PAB=90°。$

∵$∠ POA+∠ PAN=90°，$

∴$∠ POA=\frac {1}{2}∠ PAB。$

∵$∠ POA=∠ NOD，$

∴$∠ NOD=\frac {1}{2}∠ PAB。$

∵$DN$平分$∠ PDC，$

∴$∠ ODN=\frac {1}{2}∠ PDC，$

∴$∠ AND=180°-∠ NOD-∠ ODN=180°-\frac {1}{2}(∠ PAB+∠ PDC)。$

$ $由$(2)$可得$∠ CDP+∠ PAB-∠ APD=180°，$

∴$∠ CDP+∠ PAB=180°+∠ APD=270°，$

∴$∠ AND=180°-\frac {1}{2}(∠ PAB+∠ PDC)=180°-\frac {1}{2}×270°=45°。$

$75°$

解：$(2)$如图，过点$F_{作}FK// AB，$过点$P_{作}PR// AB，$

∴$∠ KFB=∠ ABF，$$∠ R_{P}M=∠ ABM。$

∵$AB// CD，$

∴$FK// CD，$$PR// CD，$

∴$∠ KFE=∠ CEF，$$∠ CEP+∠ EPR=180°。$

∵$BF $平分$∠ ABM，$

∴$∠ ABM=2∠ ABF，$

同理可得$∠ CEP=2∠ CEF。$

$ $设$∠ CEF=x，$$∠ ABF=y，$

∴$∠ KFE=∠ CEF=x，$$∠ CEP=2∠ CEF=2x，$

$ ∠ KFB=∠ ABF=y，$$∠ ABM=2∠ ABF=2y，$

∴$∠ EPR=180°-∠ CEP=180°-2x，$$∠ R_{P}M=∠ ABM=2y，$

∴$∠ MPN=∠ EPR+∠ R_{P}M=180°-2x+2y=180°-2(x-y)。$

∵$∠ BFE=∠ KFE-∠ KFB=x-y，$

∴$∠ MPN=180°-2∠ BFE，$

∴$2∠ BFE+∠ MPN=180°。$

$ (3)∠ PQH=\frac {1}{2}∠ BGP_{或}∠ PQH=90°-\frac {1}{2}∠ BGP。$