解：$(2)$不存在。
理由：解$\frac {x+3}{2}=1，$得$x=-1；$
$ $解$\frac {x+2}{2}+1=\frac {x+7}{3}，$得$x=2.$
$ $解不等式组$\begin {cases}x+m＞2\\2x+3m≤2\end {cases}$得$2-m＜x≤\frac {2-3m}{2}，$
$ $假如方程$\frac {x+3}{2}=1$和$\frac {x+2}{2}+1=\frac {x+7}{3}$都是关于$x$的不等式组$\begin {cases}x+m＞2\\2x+3m≤2\end {cases}$的关联方程，
$ $则$2-m＜-1$且$\frac {2-3m}{2}≥2，$
解不等式组$\begin {cases}2-m＜-1\\\frac {2-3m}{2}≥2\end {cases}$无解，
$ $所以不存在整数$m，$使得方程$\frac {x+3}{2}=1$和$\frac {x+2}{2}+1=\frac {x+7}{3}$都是关于$x$的不等式组$\begin {cases}x+m＞2\\2x+3m≤2\end {cases}$的关联方程。
