解:
(1)$\begin{cases}2(x-1)+3(y-1)=3,①\\2(x-1)-3(y-1)=1,②\end{cases}$
①+②,得$4(x-1)=4$,
解得$x=2.$
①-②,得$6(y-1)=2$,
解得$y=\frac{4}{3}.$
所以原方程组的解是$\begin{cases}x=2,\\y=\frac{4}{3}\end{cases}$
解:原方程组可化为$\begin{cases}3x-y=8,①\\3x-2y=4,②\end{cases}$
①-②,得$y=4.$
将$y=4$代入①,得$3x-4=8$,
解得$x=4.$
所以原方程组的解是$\begin{cases}x=4,\\y=4\end{cases}$
解:根据题意，可知$\begin{cases}x=-1,\\y=2\end{cases}$不满足方程$ax+3y=5，$但应满足方程$bx+2y=8，$
代入此方程， 得$-b+4=8，$
解得$b=-4.$
同理，将$\begin{cases}x=1,\\y=4\end{cases}$代入方程$ax+3y=5，$
得$a+12=5，$
解得$a=-7.$
所以原方程组应为$\begin{cases}-7x+3y=5,\\-4x+2y=8\end{cases}，$解得$\begin{cases}x=7,\\y=18\end{cases}$
解:
(1)$\begin{cases}x+3y=4-a,①\\x-y=3a,②\end{cases}$
①-②,得$4y=4-4a$,
解得$y=1-a.$
将$y=1-a$代入②,得$x=2a+1.$
所以原方程组的解是$\begin{cases}x=2a+1,\\y=1-a\end{cases}.$
因为$x+y=0$,
所以$2a+1+1-a=0$,
所以$a=-2.$
(2)因为$\begin{cases}x=2a+1,\\y=1-a\end{cases}$,
所以$x+2y=2a+1+2(1-a)=2a+1+2-2a=3$,
所以无论$a$取什么值,$x+2y$的值始终不变.
解:
(1)由$x+2y-6=0$,得$x=6-2y$,
当$y=1$时,$x=4$;当$y=2$时,$x=2.$
故方程$x+2y-6=0$的所有正整数解为$\begin{cases}x=2,\\y=2\end{cases}，$$\begin{cases}x=4,\\y=1\end{cases}.$
(2)由题意，得$\begin{cases}x+y=0,\\x+2y-6=0\end{cases}，$
解得$\begin{cases}x=-6,\\y=6\end{cases}.$
将$\begin{cases}x=-6,\\y=6\end{cases}$代入$x-2y+mx+5=0，$
解得$m=-\frac{13}{6}.$
(3)$x-2y+mx+5=0$,
$(1+m)x-2y=-5$,
所以当$x=0$时,$y=2.5$,
即方程$x-2y+mx+5=0$固定的解为$\begin{cases}x=0,\\y=2.5\end{cases}.$
(4)$\begin{cases}x+2y-6=0,①\\x-2y+mx+5=0,②\end{cases}$
①+②,得$2x-6+mx+5=0$,
$(2+m)x=1$,
$x=\frac{1}{2+m}.$
因为$x$恰为整数,$m$也为整数,
所以$2+m=1$或$2+m=-1$,
解得$m=-1$或$m=-3.$
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