解：
$\begin{cases}x+2y+3z=4,①\\y+z=1,②\\3x+2z=3,③\end{cases}$
①$-$②$×2，$得$x+z=2$,④
③$-$④$×2，$得$x=-1.$
将$x=-1$代入④，得$z=3，$
将$z=3$代入②，得$y=-2.$
所以原方程组的解是$\begin{cases}x=-1,\\y=-2,\\z=3.\end{cases}$
解：
$\begin{cases}a:b:c=2:3:4,①\\3a+b-4c=-14,②\end{cases}$
设$a=2k$,$b=3k$,$c=4k，$
将$a=2k$,$b=3k$,$c=4k$代入②，
得$6k+3k-16k=-14，$解得$k=2，$
所以原方程组的解是$\begin{cases}a=4,\\b=6,\\c=8.\end{cases}$
解：
$\begin{cases}x-2y=-9,①\\y-z=3,②\\2z+x=47,③\end{cases}$
③$-$①，得$2z+2y=56$,④
②$×2+$④，得$4y=62，$
解得$y=\frac{31}{2}.$
将$y=\frac{31}{2}$代入②，得$z=\frac{25}{2}.$
将$z=\frac{25}{2}$代入③，得$x=22.$
所以原方程组的解是$\begin{cases}x=22,\\y=\frac{31}{2},\\z=\frac{25}{2}.\end{cases}$
解：
$\begin{cases}3x-y+z=4,①\\2x+3y-z=12,②\\x+y+z=6,③\end{cases}$
①$+$③，得$2x+z=5$,④
①$×3+$②，得$11x+2z=24$,⑤
⑤$-$④$×2，$得$7x=14，$
解得$x=2.$
将$x=2$代入④，得$z=1.$
将$x=2$,$z=1$代入③，得$y=3.$
所以原方程组的解是$\begin{cases}x=2,\\y=3,\\z=1.\end{cases}$
解：设$\frac{x+y}{2}=\frac{z+x}{3}=\frac{y+z}{4}=k，$
则$x+y=2k$,$z+x=3k$,$y+z=4k，$
$x+y+z+x+y+z=9k，$
$2x+2y+2z=9k，$
$x+y+z=\frac{9}{2}k.$
因为$x+y+z=18，$
所以$\frac{9}{2}k=18，$解得$k=4，$
则$x+y=8$,$z+x=12$,$y+z=16，$
解得$z=10$,$y=6$,$x=2，$
所以原方程组的解是$\begin{cases}x=2,\\y=6,\\z=10.\end{cases}$
解：
$\begin{cases}3x-y+2z=3,①\\2x+y-3z=11,②\\x+y+z=12,③\end{cases}$
①$+$②，得$5x-z=14$,④
①$+$③，得$4x+3z=15$,⑤
④$×3+$⑤，得$15x+4x=57，$解得$x=3.$
将$x=3$代入④，得$15-z=14，$解得$z=1.$
将$x=3$,$z=1$代入③，得$3+y+1=12，$
解得$y=8.$
所以原方程组的解是$\begin{cases}x=3,\\y=8,\\z=1.\end{cases}$
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