解：
(1)原式$=2mx-3m+2m^2-3x=(2m-3)x+2m^2-3m，$
因为其值与$x$的取值无关，
所以$2m-3=0，$
解得$m=\frac{3}{2}。$
(2)因为$A=(2x+1)(x-1)-x(1-3y)，$
$B=-x^2+xy-1，$
所以$3A+6B=3[(2x+1)(x-1)-x(1-3y)]+6(-x^2+xy-1)$
$=3(2x^2-2x+x-1-x+3xy)-6x^2+6xy-6$
$=6x^2-6x+3x-3-3x+9xy-6x^2+6xy-6$
$=15xy-6x-9=3x(5y-2)-9。$
因为$3A+6B$的值与$x$的取值无关，
所以$5y-2=0，$
即$y=\frac{2}{5}。$
(3)设$AB=x，$则$S_1=a(x-3b)，$$S_2=2b(x-2a)，$
所以$S_1-S_2=a(x-3b)-2b(x-2a)=(a-2b)x+ab。$
因为当$AB$的长变化时，$S_1-S_2$的值始终保持不变，
所以$S_1-S_2$的值与$x$的取值无关，
所以$a-2b=0，$
所以$a=2b。$
