解：
(1)$\begin{cases}x+y=-7-m,①\\x-y=3m+1,②\end{cases}$
①+②，得$2x=2m-6，$解得$x=m-3，$
①-②，得$2y=-4m-8，$解得$y=-2m-4，$
所以原方程组的解为$\begin{cases}x=m-3\\y=-2m-4\end{cases}。$
(2)因为方程组的解满足$x$为非正数，$y$为负数，
所以$\begin{cases}m-3≤0\\-2m-4＜0\end{cases}，$解得$-2＜m≤3，$
所以$m$的取值范围是$-2＜m≤3。$
(3)因为不等式$2mx+x＜2m+1$的解集为$x＞1，$
所以$2m+1＜0，$解得$m＜-\frac{1}{2}。$
又因为$-2＜m≤3，$所以$-2＜m＜-\frac{1}{2}。$
又因为$m$是整数，所以$m=-1。$
