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$\begin{cases} x=4 \\ y=1 \end{cases}$

 解：$\begin{cases} x+2y=9,① \\ y=3x+1,② \end{cases}$

 将②代入①，得$x+6x+2=9，$解得$x=1.$

 将$x=1$代入②，得$y=4.$

 所以原方程组的解为$\begin{cases} x=1 \\ y=4 \end{cases}$

 解：$\begin{cases} x+2y=3,① \\ 3x-4y=4,② \end{cases}$

 $①×2+②，$得$5x=10，$解得$x=2.$

 将$x=2$代入①，得$2+2y=3，$解得$y=\frac{1}{2}.$

 所以原方程组的解为$\begin{cases} x=2 \\ y=\frac{1}{2} \end{cases}$

 解：方程组整理，得$\begin{cases} 3x-5y=3,① \\ 3x-2y=6,② \end{cases}$

 $②-①，$得$3y=3，$解得$y=1.$

 将$y=1$代入①，得$3x-5=3，$解得$x=\frac{8}{3}.$

 所以原方程组的解为$\begin{cases} x=\frac{8}{3} \\ y=1 \end{cases}$

 解：$\begin{cases} x+y+z=6,① \\ x+z=4,② \\ x=3,③ \end{cases}$

 将③代入①②，得$\begin{cases} 3+y+z=6 \\ 3+z=4 \end{cases}，$解得$\begin{cases} y=2 \\ z=1 \end{cases}，$

 所以原方程组的解为$\begin{cases} x=3 \\ y=2 \\ z=1 \end{cases}$

解：由题意，得$\begin {cases} -2-3b=1 a-1=3 \end {cases}，$

解得$\begin {cases} a=4 b=-1 \end {cases}.$

$ $所以原式$=(a+3b)^2-10$

$=[4+3×(-1)]^2-10$

$=1-10$

$=-9.$

 解：

 (1) 因为$x+2y-6=0，$所以$y=3-\frac{1}{2}x.$

 又因为$x,y$均为正整数，

 所以当$x=2$时，$y=2；$当$x=4$时，$y=1.$

 所以方程$x+2y-6=0$的所有正整数解为$\begin{cases} x=2 \\ y=2 \end{cases}，$$\begin{cases} x=4 \\ y=1 \end{cases}.$

 (2) 由题意，得$\begin{cases} x+y=0 \\ x+2y-6=0 \end{cases}，$

解得$\begin{cases} x=-6 \\ y=6 \end{cases}.$

 把$\begin{cases} x=-6 \\ y=6 \end{cases}$代入$x-2y+mx+5=0，$

得$-6-2×6-6m+5=0，$

解得$m=-\frac{13}{6}.$

 (3) 由$x-2y+mx+5=0，$

得$(m+1)x=2y-5，$

而无论$m$取何值，该方程总有一个固定的解，

所以有$\begin{cases} x=0 \\ 2y-5=0 \end{cases}，$

解得$\begin{cases} x=0 \\ y=\frac{5}{2} \end{cases}.$