第56页 - 苏科版数学补充习题九年级上下册答案

$解：(1)tanA=\frac {BC}{AC}=\frac {3}{4}$

$(2)AC=\sqrt {AB^2-BC^2}=\sqrt 7$

$tanA=\frac {BC}{AC}=\frac 3{\sqrt 7}=\frac {3\sqrt 7}7$

$ AC$

$ CD$

$ AD$

$ BC$

$ BD$

$ CD$

$解：(2)∠A=90°-∠ACD=∠DCB$

$∴tanA=tan∠DCB=\frac {BD}{CD}=\frac 12$

$解：∵∠C=90°，AC=3，AB=6$

$∴BC=\sqrt {6^2-3^2}=3\sqrt 3$

$∴tanA=\frac {BC}{AC}=\sqrt 3，tanB=\frac {AC}{BC}=\frac {\sqrt 3}3$

【解析】
（1）在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4$，$BC=3$，根据正切的定义：$\tan A=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{邻边}}=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{4}$。
（2）在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AB=4$，$BC=3$，先由勾股定理求$AC$：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}$，
再根据正切的定义：$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{7}}{7}$。
【答案】
（1）$\tan A=\frac{3}{4}$；（2）$\tan A=\frac{3\sqrt{7}}{7}$
【知识点】
正切的定义、勾股定理
【点评】
本题考查正切函数的应用，需明确正切是直角三角形中锐角的对边与邻边的比值；当所需直角边未知时，可利用勾股定理先求解，注意结果需化为最简形式（分母有理化）。

【解析】
(1) 在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，根据锐角正切的定义，$\tan B = \frac{AC}{BC}$；
因为$CD ⊥ AB$，所以$∠ B + ∠ A = 90^{\circ}$，$∠ A + ∠ ACD = 90^{\circ}$，根据等角的余角相等，得$∠ B = ∠ ACD$，在$\mathrm{Rt} △ ACD$中，$\tan B = \tan∠ ACD = \frac{AD}{CD}$；
在$\mathrm{Rt} △ BCD$中，$\tan B = \frac{CD}{BD}$。
(2) 因为$∠ ACB = 90^{\circ}$，$CD ⊥ AB$，所以$∠ A + ∠ ACD = 90^{\circ}$，$∠ DCB + ∠ ACD = 90^{\circ}$，根据等角的余角相等，得$∠ A = ∠ DCB$；
根据锐角正切的定义，$\tan A = \tan∠ DCB = \frac{BD}{CD}$，
将$BD = 6$，$CD = 12$代入，得$\tan A = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$。
【答案】
(1) $\frac{AC}{BC}$，$\frac{AD}{CD}$，$\frac{CD}{BD}$
(2) $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
锐角正切的定义，等角的余角相等
【点评】
本题考查锐角正切的定义及等角的余角相等的性质，通过角的转化将未知角的正切值转化为已知边的比值，运用转化思想简化了几何计算过程，提升了解题效率。

【解析】
在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C = 90^{\circ}$，$AC = 3$，$AB = 6$，根据勾股定理可得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$
根据正切的定义：
$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{3\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}$
$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
【答案】
$\tan A=\sqrt{3}$，$\tan B=\frac{\sqrt{3}}{3}$
【知识点】
勾股定理，锐角正切的定义
【点评】
本题考查直角三角形中勾股定理与正切函数的应用，需熟练掌握勾股定理及正切的定义，准确计算边长与三角函数值。