第19页 - 苏科版数学补充习题九年级上下册答案

C

B

$\frac 23$

(0，-10)

(-2，0)

左

1

下

3

$y=-x^2+4x$

【解析】
联立二次函数$y=x^2+bx+c$与一次函数$y=bx+c$，得$x^2+bx+c=bx+c$，化简得$x^2=0$，解得$x=0$，即两函数图像仅有一个公共点$(0,c)$（$y$轴上的点）。结合此结论与函数性质分析选项：
选项A、B、D中两函数图像均有两个交点，与结论矛盾，排除；
选项C中两函数仅在$y$轴交于同一点，且二次函数开口向上，一次函数$b＜0$、$c＜0$，二次函数对称轴$x=-\frac{b}{2}＞0$（在$y$轴右侧），所有性质均符合，故C正确。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图像性质、一次函数图像性质
【点评】
本题可先通过联立方程得出两函数仅有一个公共点$(0,c)$，再结合一次函数与二次函数的图像性质，快速排除错误选项，提升解题效率。

【解析】
1. 代入原点求参数$m$：
因为二次函数$y = x^2 - 2mx + m - 1$的图像过原点$(0,0)$，将$x=0$，$y=0$代入函数得：
$0 = 0^2 - 2m×0 + m - 1$，解得$m=1$。
2. 确定二次函数解析式：
将$m=1$代入原函数，得$y = x^2 - 2x$。
3. 求点$A$的坐标：
令$y=0$，则$x^2 - 2x = 0$，即$x(x-2)=0$，解得$x=0$或$x=2$，故$A(2,0)$，$OA=2$。
4. 求顶点$B$的坐标：
将$y = x^2 - 2x$配方得$y=(x-1)^2 - 1$，所以顶点$B(1,-1)$，顶点到$x$轴的距离为$|-1|=1$。
5. 计算$△ OAB$的面积：
$S_{△ OAB} = \frac{1}{2}×OA×1 = \frac{1}{2}×2×1 = 1$。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；三角形面积计算
【点评】
本题考查二次函数图像与性质的综合应用，关键是利用函数过原点的条件求出参数$m$，再结合二次函数与$x$轴的交点、顶点坐标求解三角形面积，侧重基础知识点的融合运用。

【解析】
对于二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $（$ a ≠ 0 $），当图像顶点在$ x $轴上时，函数与$ x $轴仅有一个交点，判别式$ \Delta = b^2 - 4ac = 0 $。
在函数$ y = 2x^2 - 4x + 3m $中，$ a = 2 $，$ b = -4 $，$ c = 3m $，代入判别式得：
$(-4)^2 - 4 × 2 × 3m = 0$
计算得：
$16 - 24m = 0$
解得：
$m = \frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
二次函数顶点性质、判别式的应用
【点评】
本题考查二次函数的核心性质，需牢记顶点在$ x $轴上时判别式为0的结论，通过代入参数建立方程求解，注重对二次函数基础性质的理解与应用。

【解析】
1. 求图像与y轴的交点：
令$ x = 0 $，代入二次函数$ y = 2 ( x - 1 ) ( x + 5 ) $，得$ y = 2×(0 - 1)×(0 + 5) = -10 $，因此与y轴的交点坐标为$ (0, -10) $。
2. 求对称轴与x轴的交点：
对于交点式$ y = a(x - x_1)(x - x_2) $，对称轴为$ x = \frac{x_1 + x_2}{2} $，其中$ x_1 = 1 $，$ x_2 = -5 $，则对称轴为$ x = \frac{1 + (-5)}{2} = -2 $，对称轴与x轴的交点纵坐标为0，故该交点坐标为$ (-2, 0) $。
【答案】
$ (0, -10) $；$ (-2, 0) $
【知识点】
二次函数图像性质；坐标轴交点求法
【点评】
本题考查二次函数图像与坐标轴交点及对称轴的求解，熟练运用交点式二次函数的对称轴公式和坐标轴交点的计算方法是解题核心。

【解析】
先将函数$ y = - 2 x ^ { 2 } + 4 x + 1 $配方为顶点式：
$\begin{aligned}y&=-2x^2+4x+1\\&=-2(x^2-2x)+1\\&=-2(x^2-2x+1-1)+1\\&=-2[(x-1)^2-1]+1\\&=-2(x-1)^2+3\end{aligned}$
根据二次函数平移规律“左加右减，上加下减”，将$ y=-2(x-1)^2+3 $的图像先向左平移1个单位长度，得到$ y=-2x^2+3 $，再向下平移3个单位长度，即可得到$ y=-2x^2 $的图像。
【答案】
左；1；下；3
【知识点】
二次函数图像平移；二次函数配方
【点评】
本题考查二次函数的图像平移，核心是将一般式转化为顶点式，再利用“左加右减，上加下减”的平移规律分析，平移顺序可调整，但本题按先左右后上下的常规顺序给出答案。

【解析】
根据条件①开口向下，可知$a ＜ 0$；根据条件②的增减性，可知二次函数的对称轴为$x = 2$。由二次函数对称轴公式$x = -\frac{b}{2a}$，可得$-\frac{b}{2a} = 2$，即$b = -4a$。
选取$a = -1$，则$b = 4$，令$c = 0$，可得满足条件的二次函数为$y = -x^2 + 4x$（答案不唯一，只要满足$a ＜ 0$且$b = -4a$即可）。
【答案】
$y=-x^2+4x$（答案不唯一）
【知识点】
二次函数的性质
【点评】
本题考查二次函数性质的灵活应用，需明确开口方向由$a$的符号决定，对称轴决定函数的增减性，答案具有开放性，只要符合条件即可。