第9页 - 苏科版数学补充习题九年级上下册答案

解：$(1)2-x-x^2=0，$$(-1)^2-4×(-1)×2=9＞0，$一元二次方程

有两不相等的实数根

∴$y=2-x-x^2$的图像与$x$轴有$2$个公共点

$(2)\frac 12x^2+x+\frac 12=0，$$1^2-4×\frac 12×\frac 12=0，$一元二次方程有两相等实数根

∴$y=\frac 12x^2+x+\frac 12$的图像与$x$轴有$1$个公共点

$(3)x^2-2x+2=0，$$(-2)^2-4×1×2=-4＜0，$一元二次方程无解

∴$y=x^2-2x+2$的图像与$x$轴无公共点

解：$(1)$如图所示

$(2)$由图像可知，$y=x^2-4x+6$与直线$y=6$的

交点为$(0，$$6)、$$(4，$$6)$

∴$x^2-4x+6=6$的解为$x_{1}= 0 ，$$x_{2}=4$

解：$(1)x_{1}≈-1.7 ，$$x_{2}≈0.2$

解：$(2)x_{1}≈ -2.4 ，$$x_{2}≈0.4$

解：画出函数图像如图所示

由图可知$(1)x^2+x-2=0$的解为$x_{1}=-2，$$x_{2}=1$

$(2)x^2-6x+9=0$的解为$x_{1}=x_{2}=3$

$(3)x^2+6x+10=0$的解为无解

【解析】
先分别画出对应二次函数$y=x^2+x-2$、$y=x^2-6x+9$、$y=x^2+6x+10$的图像：
1. 方程$x^2+x-2=0$的解为函数$y=x^2+x-2$图像与x轴交点的横坐标，由图像可知交点为$(-2,0)$和$(1,0)$，由此得到方程的解；
2. 方程$x^2-6x+9=0$的解为函数$y=x^2-6x+9$图像与x轴交点的横坐标，该函数图像顶点在$(3,0)$，与x轴仅有一个交点，故方程有两个相等的实根；
3. 方程$x^2+6x+10=0$对应的函数$y=x^2+6x+10$图像与x轴无交点，故方程无实数解。
【答案】
(1) $x_{1}=-2$，$x_{2}=1$；
(2) $x_{1}=x_{2}=3$；
(3) 无解。
【知识点】
二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程的解
【点评】
本题运用数形结合思想，通过二次函数图像与x轴的交点情况求解一元二次方程，直观体现了一元二次方程的解与对应二次函数图像的联系，可帮助理解不同根的情况对应的图像特征。

【解析】
(1) 令$y=0$，得方程$2 - x - x^{2}=0$，计算判别式$\Delta = (-1)^2 - 4×(-1)×2 = 9＞0$，可知该一元二次方程有两个不相等的实数根，因此$y = 2 - x - x^{2}$的图像与$x$轴有2个公共点；
(2) 令$y=0$，得方程$\frac{1}{2}x^{2} + x + \frac{1}{2}=0$，计算判别式$\Delta = 1^2 - 4×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=0$，可知该一元二次方程有两个相等的实数根，因此$y = \frac{1}{2}x^{2} + x + \frac{1}{2}$的图像与$x$轴有1个公共点；
(3) 令$y=0$，得方程$x^{2} - 2x + 2=0$，计算判别式$\Delta = (-2)^2 - 4×1×2=-4＜0$，可知该一元二次方程无实数根，因此$y = x^{2} - 2x + 2$的图像与$x$轴无公共点。
【答案】
(1) 与$x$轴有2个公共点；
(2) 与$x$轴有1个公共点；
(3) 与$x$轴无公共点。
【知识点】
一元二次方程根的判别式，二次函数与x轴的交点
【点评】
本题考查利用判别式判断二次函数图像与$x$轴的位置关系，关键是准确计算判别式的值，根据判别式的正负情况确定方程根的个数，进而得到函数图像与$x$轴的交点情况，计算时需注意系数的符号。

【解析】
(1) 先将二次函数$y=x^2-4x+6$配方为顶点式$y=(x-2)^2+2$，可得顶点坐标为$(2,2)$，对称轴为直线$x=2$，再选取$x=0,1,3,4$等点计算对应$y$值，描点连线即可画出函数图像，如图所示：

(2) 方程$x^2-4x+6=6$的解等价于二次函数$y=x^2-4x+6$与直线$y=6$交点的横坐标。由图像可知，两图像的交点为$(0,6)$和$(4,6)$，因此方程的解为$x_1=0$，$x_2=4$。
【答案】
(1) 函数图像见解析；
(2) $x_1=0$，$x_2=4$
【知识点】
二次函数图像绘制、二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题借助数形结合思想，将求解一元二次方程转化为寻找二次函数与直线的交点，直观展现了二次函数与一元二次方程的内在联系，有助于理解方程解的几何意义。