解:(1)当$m = 2$时,方程为$(2 - 5)x+2 - 3=0,$即$-3x - 1=0,$移项得$-3x=1,$解得$x=-\frac{1}{3}。$
(2)方程$(m - 5)x + m - 3=0$的解为$x=\frac{3 - m}{m - 5}(m\neq5),$要使解为整数,则$\frac{3 - m}{m - 5}$为整数。设$k=\frac{3 - m}{m - 5}$($k$为整数),则$3 - m=k(m - 5),$整理得$m=\frac{5k + 3}{k + 1}=5-\frac{2}{k + 1}。$因为$m$为整数,所以$\frac{2}{k + 1}$为整数,$k + 1$为$\pm1,\pm2,$解得$k=0,-2,1,-3,$对应$m=3,7,4,6。$综上,$m$的值为3,4,6,7。