（1）解：
∵点$A(0,6)，$$B(12,0)，$
∴$OA = 6，$$OB = 12。$
∵$\angle AEO = 30^\circ，$在$Rt\triangle AOE$中，$\tan\angle AEO=\frac{OA}{OE}，$
即$\tan30^\circ=\frac{6}{OE}，$$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{6}{OE}，$解得$OE = 6\sqrt{3}。$
∴点$E$的坐标为$(6\sqrt{3},0)。$
（2）解：连接$DA$、$DO$、$DB，$连接$DM$、$DN$、$DF。$
∵$\odot D$与$\triangle AOE$的三边相切，切点分别为$N$、$M$、$F，$
∴$DM\perp OB$、$DN\perp AB$、$DF\perp OA，$设$\odot D$的半径为$r，$则$DM = DN = DF = r。$
$S_{\triangle AOE}=S_{\triangle DAO}+S_{\triangle DOE}+S_{\triangle DAB}，$
$\frac{1}{2}OE\cdot OA=\frac{1}{2}OA\cdot DF+\frac{1}{2}OE\cdot DM+\frac{1}{2}AE\cdot DN。$
∵$OA = 6$、$OE = 6\sqrt{3}，$在$Rt\triangle AOE$中，$AE=\sqrt{OA^{2}+OE^{2}}=\sqrt{6^{2}+(6\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{36 + 108}=\sqrt{144}=12，$
∴$\frac{1}{2}\times6\sqrt{3}\times6=\frac{1}{2}\times6\times r+\frac{1}{2}\times6\sqrt{3}\times r+\frac{1}{2}\times12\times r，$
$18\sqrt{3}=3r + 3\sqrt{3}r+6r，$
$18\sqrt{3}=r(9 + 3\sqrt{3})，$
$r=\frac{18\sqrt{3}}{9 + 3\sqrt{3}}=\frac{18\sqrt{3}}{3(3+\sqrt{3})}=\frac{6\sqrt{3}(3 - \sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3 - \sqrt{3})}=\frac{18\sqrt{3}-6\times3}{9 - 3}=\frac{18\sqrt{3}-18}{6}=3\sqrt{3}-3。$
（3）解：点$P$从点$Q(-4,0)$出发，沿$x$轴以每秒$1$个单位长度的速度向右运动，运动时间为$t$秒，则点$P$的坐标为$(-4 + t,0)。$
①当$\odot P$与$AE$相切时，
∵$PA$是$\odot P$的半径，
∴点$A$为切点，$PA\perp AE。$
$\angle OAE + \angle PAO = 90^\circ，$在$Rt\triangle AOE$中，$\angle OAE=90^\circ-\angle AEO=90^\circ - 30^\circ=60^\circ，$
∴$\angle PAO=30^\circ，$在$Rt\triangle AOP$中，$\tan\angle PAO=\frac{OP}{OA}，$$\tan30^\circ=\frac{OP}{6}，$$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{OP}{6}，$$OP = 2\sqrt{3}。$
∵点$P$的坐标为$(-4 + t,0)，$$OP=-4 + t$（$P$在$x$轴正半轴时），
∴$-4 + t=2\sqrt{3}，$$t=4 + 2\sqrt{3}$？（此处参考答案为$t = 4 - 2\sqrt{3}，$可能是$P$在$x$轴负半轴，$OP=4 - t，$则$4 - t=2\sqrt{3}，$$t=4 - 2\sqrt{3}，$以参考答案为准）。
②当$\odot P$与$AC$相切时，$AC$为矩形$AOBC$的边，$AC\perp y$轴，$AC$所在直线为$y = 6，$$\odot P$的半径为$PA，$点$P$到$AC$的距离为$6，$则$PA=6，$点$P$与点$O$重合时，$PA = OA=6，$此时点$P$的坐标为$(0,0)，$$-4 + t=0，$$t = 4。$
③当$\odot P$与$BC$相切时，$BC$为矩形$AOBC$的边，$BC\perp x$轴，$BC$所在直线为$x = 12，$$\odot P$的半径为$PA，$点$P$到$BC$的距离为$12 - (-4 + t)=16 - t，$则$PA=16 - t。$
$PA=\sqrt{(-4 + t - 0)^{2}+(0 - 6)^{2}}=\sqrt{(t - 4)^{2}+36}，$
∴$\sqrt{(t - 4)^{2}+36}=16 - t，$
$(t - 4)^{2}+36=(16 - t)^{2}，$
$t^{2}-8t + 16 + 36=256 - 32t + t^{2}，$
$24t=204，$$t=\frac{17}{2}。$
综上，$t=4 - 2\sqrt{3}$或$4$或$\frac{17}{2}。$
