（1）证明：过点$O$作$OG \perp CD$交$CD$于点$G，$连接$OM。$
因为$\odot O$与$BC$相切于点$M，$所以$OM \perp BC。$
由于四边形$ABCD$是正方形，$\angle BCD = 90^\circ，$因此四边形$OMCG$为矩形。
因为$AC$是正方形$ABCD$的对角线，所以$\angle DCA = 45^\circ，$故$\triangle CGO$是等腰直角三角形，从而$OG = CG。$
因此矩形$OMCG$是正方形，可得$OM = OG。$
又因为$OM$是$\odot O$的半径，所以$OG$也是$\odot O$的半径，即$CD$与$\odot O$相切。
（2）解：因为正方形$ABCD$的边长为$4，$所以对角线$AC = 4\sqrt{2}。$
设$\odot O$的半径为$r，$则$OA = OM = r。$
在等腰直角三角形$OMC$中，$OC = \sqrt{OM^2 + MC^2} = \sqrt{r^2 + r^2} = \sqrt{2}r。$
因为$AC = AO + OC，$所以$4\sqrt{2} = r + \sqrt{2}r，$即$r(1 + \sqrt{2}) = 4\sqrt{2}。$
解得$r = \frac{4\sqrt{2}}{1 + \sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{4\sqrt{2}(\sqrt{2} - 1)}{2 - 1} = 8 - 4\sqrt{2}。$
因此，$\odot O$的半径为$8 - 4\sqrt{2}。$
