【解析】：
本题可先设出这六个连续正整数中最小的数为$n$，再根据相对面上的数的和都相等列出方程，进而求出$n$的值，最后求出这$6$个整数的和。
设这六个连续正整数中最小的数为$n$，那么这六个连续正整数依次为$n$，$n + 1$，$n + 2$，$n + 3$，$n + 4$，$n + 5$。
因为正方体每两个相对面上的数的和都相等，由图可知$5$与$n + 3$相对，$8$与$n$相对，$9$与$n + 2$相对，所以可列出方程$n+(n + 3)=8 + 5$。
接下来求解上述方程：
$n+(n + 3)=8 + 5$
$n+n + 3=13$
$2n+3=13$
$2n=13 - 3$
$2n=10$
$n=5$
得到$n = 5$后，可求出这六个连续正整数分别为$5$，$6$，$7$，$8$，$9$，$10$，它们的和为$5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 45$。
【答案】：$45$
