解$: (1)$计算所有可能的数对相乘的积:
$ (-5) × 1 = -5,$$(-5) × (-3) = 15,$$(-5) × 5 = -25,$
$ 1 × (-3) = -3,$$1 × 5 = 5,$$(-3) × 5 = -15。$
$ $比较可得最大积$m=15,$最小积$n=-25。$
$ (2)$将$m=15,$$n=-25$代入$|x+n|=m,$得$|x - 25|=15。$
根据绝对值定义,有$x - 25 = 15$或$x - 25 = -15,$
$ $解得$x=40$或$x=10。$