解：$(1)$如图所示，连接$OA$
∵$AB$切$\odot O$于点$A，$∴$∠OAB=90°$
在$Rt∆OAB$中，$AB= 3\sqrt 3$
设$OA=R，$则$OB=2R$
由勾股定理得$(2R)^2= R^2 + (3\sqrt 3)^2$
解得$ R=3$
∴$\odot O$的半径为$3$
$(2)$∵$∆OAB$是直角三角形，且$OB=2OA$
∴$∠B=30°，$∴$∠AOB= 60°$
∴$∠ACB= \frac 12∠AOB=30°$
$(3) S_{阴影}=S_{△OAB}-S_{扇形OAD}$
$= \frac 12\ \mathrm {A}B×OA-\frac 16S_{\odot O}$
$= \frac 12×3\sqrt 3×3-\frac 16×π×3^2$
$= \frac {9\sqrt 3}2-\frac 32π$
