解：$(1)EF $是$⊙O$的切线，理由如下：
过点$O$作$OG⊥EF，$垂足为$G$
∵$AC$是$⊙O$的切线，切点为$A$
∴$∠OAE=90°$
∵$OG⊥EF，$∴$∠EGO=90°$
∴$∠OAE=∠EGO$
又∵$EO$平分$∠AEF，$∴$∠AEO=∠GEO$
在$∆AEO$和$∆GEO$中
$\begin {cases}{∠OAE=∠EGO}\\{OE=OE}\\{∠AEO=∠GEO}\end {cases}$
∴$∆AEO≌∆GEO，$∴$OA=OG$
∴点$G $在$⊙O$上，$EF $是$⊙O$的切线
$(2)$过点$E$作$EH⊥BF，$垂足为$H$
∵$EH⊥BF，$∴$∠BHE=∠FHE=90°$
∵$AC、$$BD、$$EF $是$⊙O$的切线
∴$EF=AE+BF=13，$且$∠OAE=∠OBF=90°$
∴四边形$AEHB$为矩形
∴$BH=AE=4$
∵$BF=9$
∴$HF=BF-BH=9-4=5$
在$Rt∆EHF {中}，$$EH^2=EF^2-HF^2=13^2-5^2=144$
∴$EH=AB=12$
∴$OA=OB=6$
∴$⊙O$的半径为$6$
