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解：$ (1)$设每千克核桃应降价$x$元

则$ (60- x- 40)(100+\frac {x}2×20) = 2240$

解得$x_{1}=4，$$x_{2}= 6$

答：每千克核桃应降价$4$元或$6$元。

$(2)$∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价$6$元。

∴$\frac {60-6}{60}×100\%= 90\%$

答：该直播间应按原售价的$9$折出售。

解：设这个直角三角形较长的一条直角边长是$x\mathrm {cm}$

则另一条直角边长是$(x -1)\mathrm {cm}$

根据题意得$ \frac 12x(x-1)=6$

解得$x_{1}=-3($不合题意，舍去)，$x_{2}=4$

$4-1=3(\mathrm {cm})$

答：这个三角形的两条直角边的长分别是$4\ \mathrm {cm} $和$3\ \mathrm {cm}。$

解：设这个直角三角形的三边长分别为$ x-2，$$x，$$x+2$

$(x-2)^2+x^2= (x + 2)^2$

解得$x_{1}=8，$$x_{2}= 0($不合题意，舍去)

∴$8+2=10$

答：斜边长为$10。$