（1）证明：因为$DE\perp DF，$所以$\angle EDF = 90^{\circ}。$
因为$\angle BAC = 90^{\circ}，$$\angle BAC+\angle AED+\angle EDF+\angle AFD = 360^{\circ}，$
所以$\angle AED+\angle AFD = 360^{\circ}-\angle BAC - \angle EDF=180^{\circ}。$
因为$\angle AED+\angle BED = 180^{\circ}，$所以$\angle BED=\angle AFD。$
（2）证明：延长$ED$至点$P，$使$DP = ED，$连接$CP，$$FP。$
因为$FD\perp EP，$所以$FD$为$EP$的垂直平分线，即$EF = FP。$
又$D$是$BC$的中点，所以$BD = CD。$
又$\angle EDB=\angle PDC，$所以$\triangle EDB\cong\triangle PDC(SAS)。$
所以$EB = PC，$$\angle B=\angle DCP。$
因为$\angle BAC = 90^{\circ}，$所以$\angle B+\angle ACB = 90^{\circ}，$即$\angle DCP+\angle ACB = 90^{\circ}。$
所以$\angle ACP = 90^{\circ}。$
在$Rt\triangle PCF$中，由勾股定理，得$CP^{2}+CF^{2}=FP^{2}，$所以$BE^{2}+CF^{2}=EF^{2}。$
（3）解：连接$AD。$由（2），得$BE^{2}+CF^{2}=EF^{2}，$$\angle B+\angle ACB = 90^{\circ}。$
又$BE = 12，$$CF = 5，$所以$5^{2}+12^{2}=EF^{2}，$即$EF = 13$（负值已舍去）。
因为$\angle B = 45^{\circ}，$所以$\angle ACB=\angle B = 45^{\circ}，$即$AB = AC。$
所以$\triangle ABC$是等腰直角三角形。
因为$D$是$BC$的中点，所以$AD = CD，$$AD\perp BC，$$AD$平分$\angle BAC，$
即$\angle ADC = 90^{\circ}，$$\angle BAD=\angle B=\angle ACB = 45^{\circ}。$
因为$DE\perp DF，$所以$\angle EDF = 90^{\circ}。$
所以$\angle EDF-\angle ADF=\angle ADC-\angle ADF，$即$\angle ADE=\angle CDF。$
所以$\triangle ADE\cong\triangle CDF(ASA)。$所以$DE = DF。$
在$Rt\triangle DEF$中，由勾股定理，得$DE^{2}+DF^{2}=EF^{2}=169，$所以$DE^{2}=\frac{169}{2}。$
所以$S_{\triangle DEF}=\frac{1}{2}DE\cdot DF=\frac{1}{2}DE^{2}=\frac{169}{4}。$
