$ (1)$证明：∵$AC = BC，$∴$∠A=∠B$
∵$∠CDB=∠A+∠ACD=∠CDE+∠BDE，$$∠CDE=∠A$
∴$∠ACD=∠BDE$
又$BC = BD，$∴$AC = BD$
∴$\triangle ADC≌\triangle BED(AS A)，$∴$CD = DE$
$ (2)$解：∵$CD = BD，$∴$∠B=∠DCB$
由$(1)$得$∠A=∠B，$且$∠CDE=∠A，$∴$∠CDE=∠B$
∴$∠DCB=∠CDE，$∴$CE = DE$
在$DE$上取点$F，$使$DF = BE，$连接$CF$
∴$\triangle CDF≌\triangle DBE(S AS)$
∴$CF = DE，$即$CF = CE$
∴$\triangle CEF $是等腰三角形
又$CH\perp EF，$∴$FH = EH=\frac 12EF，$即$EF = 2EH$
又$EH = 3，$∴$CE - BE = DE - DF = EF = 2EH = 6$
