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第4页

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$30^{\circ}$

$ (1)$证明：∵$BE，$$CF $都是$\triangle ABC$的高

∴$∠AF C = ∠AEB = 90°$

$ $即$∠ABP+∠BAC = 90°，$$∠Q CA+∠BAC = 90°$

∴$∠ABP = ∠Q CA$

$ $在$\triangle ABP $和$\triangle Q CA$中

$\begin {cases}AB = Q C\\∠ABP = ∠Q CA\\BP = CA\end {cases}$

∴$\triangle ABP≌\triangle Q CA(S AS)$

$ (2)$解：$AP\perp AQ，$证明如下：

$ $由$(1)，$得$∠AF C = 90°，$$\triangle ABP≌\triangle Q CA$

∴$∠BAP = ∠Q$

∵$∠Q+∠BAQ = 90°，$即$∠BAP+∠BAQ = 90°$

∴$∠P AQ = 90°，$即$AP\perp AQ$

$32$

$ (1)$证明：∵$BE\perp CD，$∴$∠BEC = ∠FEC = 90°$

∴$∠F+∠F CE = 90°$

∵$∠BAC = 90°，$$∠BAC+∠F AB = 180°$

∴$∠F AB = 180°-∠BAC = 90°$

∴$∠F+∠F BA = 90°$

∴$∠F BA = ∠F CE，$即$∠F BA = ∠DCA$

$ $在$\triangle AF B$和$\triangle ADC$中

$\begin {cases}∠F AB = ∠DAC\\AB = AC\\∠F BA = ∠DCA\end {cases}$

∴$\triangle AF B≌\triangle ADC(AS A)$

∴$AF = AD$

$ $又$AB = AD + BD，$∴$AB = AF + BD$

$ (2)$解：$(1)$中的结论不成立

$ $当点$D$在$AB$的延长线上时，$AB = AF - BD$

$ $当点$D$在$AB$的反向延长线上时，$AB = BD - AF$