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第22页

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解：$(1)M，$$N$是线段$AB$的勾股分割点，理由如下：

∵$AM = 2.5，$$NB = 6，$∴$AM^2+NB^2=2.5^2+6^2=42.25$

又$MN = 6.5，$∴$MN^2=6.5^2=42.25，$即$AM^2+NB^2=MN^2$

∴以$AM，$$MN，$$NB$为边的三角形是一个直角三角形，

即$M，$$N$是线段$AB$的勾股分割点

$ (2)$设$NB = x$

∵$AB = 14，$$AM = 4，$∴$MN=AB - AM - NB = 10 - x$

∵$M，$$N$是线段$AB$的勾股分割点

∴以$AM，$$MN，$$NB$为边的三角形是直角三角形

又$AM$为直角边，∴有以$MN$为斜边或以$NB$为斜边两种情况。

当以$NB$为斜边时，由勾股定理，得$AM^2+MN^2=NB^2$

∴$4^2+(10 - x)^2=x^2，$解得$x = 5.8。$则$NB = 5.8；$

当以$MN$为斜边时，

同理，得$x^2+4^2=(10 - x)^2，$解得$x = 4.2。$则$NB = 4.2$

综上，$NB$的长为$4.2$或$5.8$

解：连接$BD，$过点$B$作$BF\perp DE，$交$DE$的延长线于点$F，$易得$BF = b - a$

∴$S_{五边形ACBED}=S_{\triangle ACB}+S_{\triangle ABD}+S_{\triangle BDE}=\frac 12ab+\frac 12c^2+\frac 12a·(b - a)$

又$S_{五边形ACBED}=S_{\triangle ACB}+S_{\triangle ABE}+S_{\triangle ADE}=\frac 12ab+\frac 12b^2+\frac 12ab$

∴$\frac 12ab+\frac 12b^2+\frac 12ab=\frac 12ab+\frac 12c^2+\frac 12a(b - a)$

∴$a^2+b^2=c^2$

解：$(1)$点$P $位于$BC$的垂直平分线与$AC$的交点处，如图所示理由如下：

∵$P C^2-P A^2=AB^2，$∴$P C^2=P A^2+AB^2$

又点$P $在$AC$上，∴由勾股定理，得$P A^2+AB^2=P B^2$

∴$P C = P B$

∴点$P $在$BC$的垂直平分线上，即点$P $位于$BC$的垂直平分线与$AC$的交点处

$ (2)$设$P A = x$

由题意，得$AB = 4，$$AC = 6，$∴$P C = AC - P A = 6 - x$

∴$P B = 6 - x$

在$Rt\triangle P AB$中，由勾股定理，得$P A^2+AB^2=P B^2$

∴$x^2+4^2=(6 - x)^2，$解得$x = \frac 53$

则线段$P A$的长为$\frac 53$