解：$(1)$设长方形硬纸片的长为$x\mathrm {cm}，$宽为$y\mathrm {cm}$
由题意，得$x = 2y，$且$x^2=900，$解得$x = 30($负值已舍去$)$
∴$y = 15$
∴长方形硬纸片的宽为$15\ \mathrm {cm}$
$ (2)$够用
由题意，得该正方体无盖笔筒的棱长为$\sqrt [3]{512}=8(\mathrm {cm})$
$ $又$3×8 = 24(\mathrm {cm})，$$24＜30，$$8＜15$
∴该正方形硬纸片够用
$ $又制作该正方体无盖笔筒共需要$5$张边长为$8\ \mathrm {cm} $的正方形硬纸片
∴需要硬纸片的总面积为$5×8^2=320(\mathrm {cm}^2)$
∴剩余的硬纸片面积为$900 - 320 = 580(\mathrm {cm}^2)$
