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第4页

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证明：$(1)$在$∆ABC$和$∆DFE$中

$\begin {cases}{AB=DF}\\{AC=DE}\\{ BC=FE}\end {cases}$

∴$∆ABC≌∆DFE(\mathrm {SSS})$

∴$∠ACB =∠DEF，$即$∠G CE=∠GEC$

∴$GE=G C，$∴$∆GEC$是等腰三角形

$ (1) $证明：由题意得$AD = CE，$$AC = CB，$$∠A = ∠BCE = 60°$

$ $在$∆ACD$和$∆CBE$中

$ \begin {cases}AD = CE \\∠A=∠BCE \\AC = CB\end {cases}$

∴$∆ACD≌∆CBE(S AS)$

$ (2) $解：$∠BF C$的大小无变化。理由如下：

$ $由$(1)，$得$∆ACD≌∆CBE，$∴$∠ACD = ∠CBE$

∵$∆ABC$是等边三角形，∴$∠A = ∠ABC = ∠ACB = 60°$

∵$∠ACB = ∠ACD + ∠BCF，$∴$∠CBE + ∠BCF = 60°$

∵$∠BF C + ∠CBE + ∠BCF = 180°$

∴$∠BF C = 180° - (∠CBE + ∠BCF)=120°$

∴$∠BF C$的大小无变化

$ (1) $证明：∵$∠ACF = ∠A + ∠ABF，$$∠ECF = ∠BP C + ∠DBF，$

$∠A = 78°，$$∠BP C = 39°$

∴$∠ABF = ∠ACF - 78°，$$∠DBF = ∠ECF - 39°$

∵$CE$平分$∠ACF，$∴$∠ACF = 2∠ECF$

∴$∠ABF = 2∠ECF - 78° = 2(∠ECF - 39°)=2∠DBF$

∴$BD$平分$∠ABC$

$ (2) $解：连接$AQ，$$CQ，$过点$Q $作$QN⊥BA，$交$BA$的延长线于点$N$

∵$QG $垂直平分$AC，$∴$AQ = CQ$

$ $由$(1)，$得$BD$平分$∠ABC，$且$QM⊥BC，$∴$QM = QN$

$ $在$Rt∆QNA$和$Rt∆QMC$中

$ \begin {cases}QN = QM \\AQ = CQ\end {cases}$

∴$Rt∆QNA≌Rt∆QMC(\mathrm {HL})，$∴$NA = MC$

$ $在$Rt∆QNB$和$Rt∆QMB$中

$ \begin {cases}QN = QM \\BQ = BQ\end {cases}$

∴$Rt∆QNB≌Rt∆QMB(\mathrm {HL})，$∴$BN = BM$

$ $又$BC = BM + MC，$$BN = AB + NA$

∴$BC = BN + MC = AB + 2MC$

$ $又$BC = 7，$$AB = 4，$∴$7 = 4 + 2MC，$解得$MC = 1.5$

$ $则$MC$的长为$1.5$