解：$(1)$函数$y = x + 1(-4\leq x\leq 2)$是有界函数
∵$k = 1＞0$
∴函数$y = x + 1$的函数值$y$随$x$的增大而增大
当$x = -4$时，$y = -4 + 1 = -3；$
当$x = 2$时，$y = 2 + 1 = 3$
∴$-3\leq y\leq 3$
∴函数$y = x + 1(-4\leq x\leq 2)$是有界函数，
且边界值为$3$
$(2)$∵$k = -1＜0$
∴函数$y = -x + 1$的函数值$y$随$x$的增大而减小
∴当$x = a$时，$y = -a + 1 = 2；$
当$x = b$时，$y = -b + 1$
由题意，得$\begin {cases}-2\leq -b + 1\leq 2\\b ＞ a\\-a + 1 = 2\end {cases}$
解得$a = -1，$$-1 ＜ b\leq 3$
∴$b$的取值范围为$-1 ＜ b\leq 3$
