解：$(1)$∵点$A$的坐标为$(2a - b，$$5 + a)，$点$B$的坐标
为$(2b - 1，$$-a + b)，$$A，$$B$两点关于$x$轴对称
∴$\begin {cases}2a - b = 2b - 1\\5 + a - a + b = 0\end {cases}，$解得$\begin {cases}{a = - 8}\\{b=-5}\end {cases}$
则$a，$$b$的值分别为$-8，$$-5$
$(2)$∵点$A$的坐标为$(2a - b，$$5 + a)，$点$B$的坐标
为$(2b - 1，$$-a + b)，$$A，$$B$两点关于$y$轴对称
∴$\begin {cases}2a - b+2b - 1 = 0\\5 + a=-a + b\end {cases}，$解得$\begin {cases}{a = - 1}\\{b = 3}\end {cases}$
∴$4a + b=-4 + 3=-1$
∴$(4a + b)^{2025}=(-1)^{2025}=-1$
