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第62页

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解：$(1)$如图$①，$这是一个直角梯形

$(2)$根据梯形的面积公式可知该梯形的面积

$S_{1} = \frac 12(a + b)(a + b)=\frac 12(a^2+2ab + b^2)$

$=\frac 12a^2+\frac 12b^2+ab$

又该梯形的面积等于三个小直角三角形面积的和

∴$S_{2}=\frac 12ab+\frac 12ab+\frac 12c^2=ab+\frac 12c^2$

∵$S_{1} = S_{2}$

∴$\frac 12a^2+\frac 12b^2+ab=ab+\frac 12c^2$

即$a^2+b^2=c^2$

$(3)$能，如图②，用$4$个题图$①$中的直角三角形

拼成一个大正方形

$(1)$证明：∵$AC = 21，$$AD = 16$

∴$CD=AC - AD = 5$

又$BC = 13，$$BD = 12$

∴$BD^2+CD^2=169，$$BC^2=169，$

即$BD^2+CD^2=BC^2$

∴$\triangle BCD$是直角三角形，

且$∠BDC = 90°，$即$BD\perp AC$

$(2)$解：由$(1)$得$BD\perp AC，$∴$∠ADB = 90°$

在$Rt\triangle ABD$中，$AD = 16，$$BD = 12$

由勾股定理，得$AB=\sqrt {AD^2+BD^2} = 20$

又$E$是边$AB$上一点

∴当$DE\perp AB$时，$DE$的长最小，

此时$DE$是$\triangle ADB$边$AB$上的高

∵$S_{\triangle ABD}=\frac 12\ \mathrm {A}D·BD=\frac 12\ \mathrm {A}B·DE$

∴$DE=\frac {AD·BD}{AB}=9.6$

∴线段$DE$的长的最小值为$9.6$

$\frac{15}{2}$