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第53页

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证明：$(1)$∵$\triangle ACB$和$\triangle ECD$都是等腰

直角三角形，$∠ACB=∠ECD = 90°$

∴$AC = BC，$$CE = CD，$

$∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD，$

即$∠ACE=∠BCD$

∴$\triangle ACE≌\triangle BCD(S AS)$

$ (2)$∵$\triangle ACB$是等腰直角三角形

∴$∠B=∠BAC = 45°$

$ $由$(1)，$得$\triangle ACE≌\triangle BCD$

∴$AE = BD，$$∠CAE=∠B = 45°$

∴$∠DAE=∠CAE+∠BAC = 90°，$

即$\triangle ADE$是直角三角形

由勾股定理，得$AD^2+AE^2=DE^2$

∴$AD^2+BD^2=DE^2$

$ $在等腰直角三角形$ECD$中，$CE = CD$

由勾股定理，得$DE^2=CD^2+CE^2=2CD^2$

∴$2CD^2=AD^2+BD^2$

解：$(1)$如图$①，$过点$A$作$AE//l，$交$BD$于点$E，$

连接$AB$

∵$AC\perp l，$$BD\perp l$

∴$AE\perp BD，$四边形$ACDE$是长方形

∵$AC = 2\ \mathrm {km}，$$BD = 4\ \mathrm {km}，$$CD = 8\ \mathrm {km}$

∴$DE = AC = 2\ \mathrm {km}，$$AE = CD = 8\ \mathrm {km}$

∴$BE = BD - DE = 2\ \mathrm {km}$

在$Rt\triangle ABE$中，由勾股定理，

得$AB=\sqrt {AE^2+BE^2}=\sqrt {68}\mathrm {km}$

∴$A，$$B$两村之间的距离是$\sqrt {68}\mathrm {km}$

$(2)$如图$②，$作点$A$关于直线$l$的对称点$A'，$

连接$A'B$交直线$l$于点$M，$则$M$即为所求的点，

且距离之和的最小值即为线段$A'B$的长

过点$A'$作$A'F\perp BD，$交$BD$的延长线于点$F$

∴$BF = BD + DF = BD + A'C $

$= BD + AC = 4 + 2=6(\mathrm {km})，$$A'F = CD = 8\ \mathrm {km}$

在$Rt\triangle A'BF $中，由勾股定理，

得$A'B=\sqrt {A'F^2+BF^2} = 10\ \mathrm {km}$

∴距离之和的最小值为$10\ \mathrm {km}$

$(3)$如图$③，$连接$AB，$作$AB$的垂直平分线$GH，$

交直线$l$于点$P，$连接$P A，$$P B，$则$P A = PB$

∴点$P $即为所作