解：$(1)$∵$(\pm 4i)^2 = -16$
∴$-16$的平方根是$\pm 4i$
∵$(\pm 5i)^2 = -25$
∴$-25$的平方根是$\pm 5i$
$ (2)$由题意，得$i^3 = i^2·i = -i，$
$i^4=(i^2)^2=(-1)^2 = 1，$
$i^5 = i^4·i = i，$
$i^6 = i^5·i = i^2 = -1$
$i^7 = i^6·i = -i，$
$i^8 = i^7·i = 1$
规律：$i^{4n + 1}=i，$$i^{4n + 2}=-1，$$i^{4n + 3}=-i，$
$i^{4n + 4}=1(n\geq 0，$且$n$为整数$)$
