$(1)$证明：∵$BD\perp AC，$∴$∠BDC=∠F DC = 90°$
∴$∠DAB+∠ABD = 90°$
过点$A$作$AM\perp BC$于点$M$
则$∠AMB=∠AMC = 90°$
在$Rt\triangle AMB$和$Rt\triangle AMC$中
$\begin {cases}AB = AC\\AM = AM\end {cases}$
∴$Rt\triangle AMB≌Rt\triangle AMC(\mathrm {HL})$
∴$∠ABC=∠C$
∴$∠DAB=∠ABC+∠C = 2∠ABC$
∴$∠ABC=∠C=\frac 12∠DAB$
∵$BE$平分$∠ABD$
∴$∠ABE=∠DBE=\frac 12∠ABD$
∴$∠CBE=∠ABC+∠ABE$
$=\frac 12(∠DAB+∠ABD)=45°$
$(2)$解：$BH\perp EH，$$BH = EH，$证明如下：
延长$BA$到点$G，$使$AG = AE，$连接$EG$
∵$AB = AC$
∴$AB + AG = AC + AE，$即$BG = CE$
∵$BF = CE，$∴$BG = BF$
由$(1)$得$∠C=\frac 12∠DAB，$$∠F DC = 90°，$
$∠CBE = 45°，$$∠ABE=∠DBE，$即$∠GBE=∠FBE$
在$\triangle EBG $和$\triangle EBF $中
$\begin {cases}BG = BF\\∠G BE=∠F BE\\BE = BE\end {cases}$
∴$\triangle EBG≌\triangle EBF(S AS)$
∴$∠G=∠F$
同$(1)，$得$∠G=∠AEG$
∴$∠DAB=∠G+∠AEG = 2∠G$
∴$∠G=\frac 12∠DAB$
∴$∠G=∠C$
∴$∠F=∠C$
∵$∠HEC=∠DEF$
∴$∠BHE=∠C+∠HEC=∠F+∠DEF = 90°$
∴$BH\perp EH，$即$∠BHE = 90°$
∴$∠HEB = 90°-∠CBE = 45°，$
即$∠HEB=∠CBE$
过点$H$作$HO\perp BE$于点$O$
则$∠BOH=∠EOH = 90°$
在$\triangle BOH$和$\triangle EOH$中
$\begin {cases}∠HBO=∠HEO\\∠BOH=∠EOH\\HO = HO\end {cases}$
∴$\triangle BOH≌\triangle EOH(\mathrm {AAS})$
∴$BH = EH$
