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解：由旋转的性质可得$∠BAC=∠DAE=30°$

∴$∠BAE=180°-∠BAC-∠DAE=120°$

∴$∠CAE=∠BAC+∠BAE=150°$

解：$ (1)$如图所示

$(2) $如图所示

$(3) △A_{1}B_{1}C_{1}$和$△A_{2}B_{2}C_{2}$之间有对称关系

关于$PQ $成轴对称

$(4) $不能通过对$△ABC$作轴对称

变换得到$△A_{2}B_{2}C_{2} $

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