解：$(1)$取$AC$的中点$G$，连接$DG$，则$AG=CG= \frac {1}{2}AC$
又$AC=4$，∴$AG=2$
∵$D$为$AB$的中点
∴$DG $为$△ACB$的中位线，即$DG//BC$，$DG=\frac {1}{2}BC$
∴$∠AGD=∠C$
∵$BC=2$，$∠C=90°$，∴$DG=1$，$∠AGD=90°$
∵$AE=\frac {1}{4}AC$，∴$AE=1$，即$EG=1$
在$Rt△DGE$中，由勾股定理，得$DE= \sqrt {DG²+EG²}= \sqrt {2}$
证明：$(2)$如图，连接$BE$，取$ BE$的中点$M$，连接$ MF$，$MD$
∵$F $为$EC$的中点，$D$为$AB$的中点
∴$MF $是$△BCE $的中位线，$MD $是$△ABE$的中位线，
即$MF//BC$且$MF=\frac {1}{2}BC$，$MD//AE $且$MD=\frac {1}{2}\ \mathrm {AE}$
∴$∠AFD=∠MDF$，$∠AFM=∠C$
∵$AE=BC$，∴$MD=MF$
∴$∠MDF=∠MFD$，即$∠AFD=∠MFD$
∴$∠AFD=\frac {1}{2}∠AFM$，即$∠AFD=\frac {1}{2}∠C$
$(3)AC=2AE+BC$，证明如下：
在$EC$上截取$ EM$，使得$ EM=AE$，连接$ BM$，过点$C$作$CH⊥BM $于点$ H$
则$ E$是$AM $的中点，$∠MHC=90°$
∵$D$是$AB$的中点，∴$ED$为$△ABM$的中位线，即$DE//BM$
∴$∠AED=∠AMB = ∠MHC + ∠MCH = 90° +∠MCH$
∵$2∠AED-∠ACB=180°$
∴$∠AED=90°+\frac {1}{2}∠ACB$，即$∠MCH=\frac {1}{2}∠ACB$
∴$∠MCH=∠BCH$
∵$CH=CH$，$∠CHM=∠CHB=90°$
∴$△CHM≌△CHB(\mathrm {ASA})$，∴$BC=MC $
∵$AC=AE+EM+MC$，∴$AC=2AE+BC$
